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数理システム 最適化メールマガジン

バックナンバー ( 2019 Vol.5 ) 2019 年 9 月 20 日 発行

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  数理システム 最適化メールマガジン  http://www.msi.co.jp/nuopt/
                           2019 Vol.5 ( 2019 年  9 月 20 日 発行 )
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数理システム 最適化メールマガジンでは,数理計画法パッケージ
数理システム Numerical Optimizer をはじめとして,最適化に関する様々
な情報やご案内を提供していきます.

++++ [目次] ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 ■ <  tips  > 使ってみよう PySIMPLE(第 4 回)
 ■ <トピック> 量子アニーリングでの最適化との違い
 ■ <セミナー> 特別セミナーのご案内
 ■ <セミナー> 9〜12 月体験セミナーのご案内
 ■ <セミナー> PySIMPLE セミナー
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■ <  tips  > 使ってみよう PySIMPLE(第 4 回)
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このコーナーでは,Numerical Optimizer V21 の新機能であるモデリング
言語 PySIMPLE のエッセンスを紹介していきます.
前回は疎集合を扱うことによって効率よくモデルを記述する方法を紹介
しました.今回はこの考え方が出力やデバッグの際にも有用であることを
SIMPLE と比較しながら紹介していきます.

まず,次のような問題設定を考えましょう.

- 仕事 A, B, C, D を人 0, 1, 2, 3 で分担する
- 各仕事は 2 人で分担する
- 各人は 2 つの仕事をする

この問題の定式化は次のようになります.

SIMPLE:                            PySIMPLE:
---------------------------------+--------------------------------
Set I="0 .. 3"; Element i(set=I);| i = Element(value=range(4))
Set J="A B C D";Element j(set=J);| j = Element(value='ABCD')
IntegerVariable x(index=(i,j),   | x = BinaryVariable(index=(i,j))
                    type=binary);| p = Problem()
sum(x[i,j], i) == 2;             | p += Sum(x[i,j], i) == 2
sum(x[i,j], j) == 2;             | p += Sum(x[i,j], j) == 2
solve();                         | p.solve()
---------------------------------+--------------------------------

この結果を確認するために整形した文字列を出力してみましょう.
SIMPLE では simple_printf 関数,PySIMPLE では Printf 関数を使います.

SIMPLE:
------------------------------------------------------------------
simple_printf("%s は %s 個を担当¥n", j, sum(x[i,j].val, i));
------------------------------------------------------------------

PySIMPLE:
------------------------------------------------------------------
Printf('{} は {:.0f} 個を担当', j, Sum(x[i,j].val, i))
------------------------------------------------------------------

この関数は制約式と同様に浮いている添字 j に対して展開され,いずれも
次のような出力になります.

------------------------------------------------------------------
A は 2 個を担当
B は 2 個を担当
C は 2 個を担当
D は 2 個を担当
------------------------------------------------------------------

確かに制約を満たしてることが確認できました.x の値を確認するだけで
あれば今までと同じように SIMPLE では x.val.print(),PySIMPLE では
print(x.val) で OK です.しかし,例えば値が入っている部分だけを
抽出して確認したい場合はどうすればよいでしょうか.

SIMPLE:
------------------------------------------------------------------
Set IJ(dim=2); Element ij(set=IJ);
IJ = setOf((i,j), x[i,j].val>0);
x[ij].val.print();
// (x[i,j].val, x[i,j].val>0).print();  // 実はこれでも可能
------------------------------------------------------------------

PySIMPLE:
------------------------------------------------------------------
ij = x[i,j].val>0
print(x[ij].val)
------------------------------------------------------------------

ここで添字 ij は前回出てきた多次元の添字であることに注意しましょう.
PySIMPLE では条件を満たす添字を上記のように作り出すことができます.
では,今度はこの ij を用いて整形して出力してみましょう.

SIMPLE:
------------------------------------------------------------------
simple_printf("%s を %s に割当て¥n", ij);
simple_printf("%s を %s に割当て¥n", i, j, x[i,j].val>0);
------------------------------------------------------------------

PySIMPLE:
------------------------------------------------------------------
Printf('{} を {} に割当て', ij)
------------------------------------------------------------------

これはいずれも次のような出力となります.

------------------------------------------------------------------
0 を C に割当て
0 を D に割当て
1 を A に割当て
1 を C に割当て
2 を B に割当て
2 を D に割当て
3 を A に割当て
3 を B に割当て
------------------------------------------------------------------

先ほどと異なり,2 つのプレースホルダに対して対応するオブジェクトが
1 つしか存在しません.多次元の添字を simple_printf/Printf 関数に
渡す場合,各次元に分解されます.個別に記述する場合は次のように記述
することもできます.

SIMPLE:
------------------------------------------------------------------
simple_printf("%s を %s に割当て¥n", ij.at(1), ij.at(2));
------------------------------------------------------------------

PySIMPLE:
------------------------------------------------------------------
Printf('{} を {} に割当て', ij(0), ij(1))
------------------------------------------------------------------

添字の次元は SIMPLE では 1 始まり,PySIMPLE では 0 始まりであることに
注意しましょう.

いかがでしたでしょうか.このように PySIMPLE では多次元の添字を簡単に
扱うことができます.また,Printf 関数のフォーマットは Python の書式
指定文字列と同じものを使うことができます.詳細な文法は Python の公式
ドキュメントをご確認ください.

書式指定文字列
https://docs.python.org/ja/3/library/string.html#format-string-syntax

PySIMPLE の出力制御に関する解説はこちら:
    https://www.msi.co.jp/nuopt/docs/v21/pysimple/guide/output.html
    https://www.msi.co.jp/nuopt/docs/v21/pysimple/api/function.html#pysimple.Printf

                                                 (池田 悠)

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■ <トピック> 量子アニーリングでの最適化との違い
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量子アニーリングによる最適化と Numerical Optimizer による最適化の
大きな違いは,それぞれ特定の問題を解くか汎用的に問題を解くかに
あります.
これに加えてそれぞれ近似解法だけか厳密解法も有するかの違いもあり
ます.
量子アニーリングの仕組みについて簡単に述べながら,これら違いに
ついて明らかにしたいと思います.

量子アニーリングは断熱量子計算とよばれる計算を基礎にしています.
断熱量子計算とは,計算開始時には自明な目的関数 f0 とその最適解 x0
から開始して,ある特別な物理的過程を経て本来考えたい目的関数 f 
へと変形していき,対応する所望の最適解 x を得るという計算です.
物理的には目的関数がハミルトニアン,最適解が基底状態を表します.
そしてその特別な物理的過程というのが断熱過程です.
量子アニーリングは次の意味でこの特殊な場合になっています.

- ハミルトニアンがイジング模型である.
- 断熱過程が横磁場によって引き起こされる.

断熱量子計算はいわゆる量子ゲートを用いた量子回路による計算モデルと
等価であることが示されています.
つまり他方は一方を多項式時間でシミュレーション可能になっています.
このような訳ですが,特殊な場合である量子アニーリングについては
イジング模型に限定しているため,限られた問題に特化した計算手法と
なっています.

量子アニーリングが相手にする特定の問題とは,
QUBO (Quadratic Unconstrained Binary Optimization)
とよぶ次の問題クラスです.

- Quadratic: 目的関数が高々二次関数である.
- Unconstrained: 制約条件がない.
- Binary: 変数が 0-1 整数変数 (バイナリ変数) である.

原理的には変数は自然数や整数に拡張可能であり,目的関数も三次以上
でも二次に帰着可能であり,そして制約条件も目的関数に組み込むことも
可能です.
しかしながらそれだけ計算資源を消費することになります.

この他,量子アニーリングは問題表現能力以外にも,例えば以下の課題を
挙げることができます.

断熱過程を計算プロセスに頼っているので,所望の最適解を得るためには,
ハミルトニアンの時間変化が極めて小さいことが前提となります.
そして必ず最適解が見つかることが保証されていますが,
ハミルトニアンに特別な工夫がない限り計算時間が長くなってしまう
という点と,そもそもデコヒーレンスしてしまわないうちに計算を終え
ないといけないという点が原理的な課題になっています.
前者は量子アニーリングでこそ解くべき問題の探求,後者は広く量子工学の
工学的発展の追求が課題となっています.

以上に述べたように,ムーアの法則の終焉として,次に期待される量子
計算機のアーキテクチャの一つが量子アニーリングであり,その動作原理は
量子論の時間発展をダイレクトに利用するアナログ計算になっています.
対してデジタル計算は今のところ歴史の長い古典計算機の独壇場となって
います.
今日私たちが利用している古典計算機は物理層を高度に抽象化して,
解くべき問題やアルゴリズム,
もっと平易にいえばタスクそれ自体に専念できるようになっています.
Numerical Optimizer もその一つです.

Numerical Optimizer はモデリング言語 SIMPLE によって問題を数式で
抽象的に記述し,その記述内容を解釈して最適化計算を実行します.
記述可能な問題クラスは QUBO に限らず,従って特定の問題に特化した
つくりではなく汎用的なつくりになっています.

以上が量子アニーリングによる最適化と Numerical Optimizer による
最適化の違いで,ハードウェアレベルで仕組みが異なることが理解できた
かと思います.

                                                 (伊藤 元治)

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