TDDB試験データの解析方法

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　電子部品をはじめとする高機能部品には，多種多様な薄膜が用いられています．その薄膜の寿命を推定することは，これらの部品を用いた最終製品自体の寿命を考える上で，重要な観点となります．

　今回半導体チップの信頼性評価項目の中で最も重要な項目の1つである，MOSトランジスターのゲート酸化膜の信頼性評価方法，TDDB(Time Dependent Dielectric Breakdown)テスト結果のデータをサンプルデータとして，S言語を使った解析方法を紹介します．　　

　ＴＤＤＢ評価結果をS-PLUSにインポートし，そのデータを① cumulative provability plot, ②weibull plot したグラフを描画するとともに，指定された累積故障率（初期値は0.1％）の寿命（X軸値）を求める方法を解説します．　

　まず，サンプルデータ(sample1.csv)のように，１行目にラベル(列の名）があり，区切り記号(delimiter)がカンマ( , )であるCSVファイルを読み込む関数を read.csv() 定義します．この関数は頻繁に発生するデータの取り込みに便利です．

　読み込み対象のデータファイルが置かれるディレクトリは，初期値として c:/temp/ としています．下記をコマンドラインに，コピー＆ペーストしてください．

　関数は，1度読み込めばS-PLUS自体に定義され，S-PLUSを終了しても保持されています．2回目以降の解析時に再定義する必要はありません．

　今回使用したデータ(sample1)は，ワイブル分布に従うことがわかりました．また，この章で読み込んだ関数により，寿命試験のグラフ化が簡単に行え，所望の計算方法で任意の累積故障率での値が求められるようになりました．

　通常のTDDBテストでは面積の異なる複数種類のテストサイトのテスト結果から，単位面積あたりの寿命を推定します．この従来の方法では，複数種類（最低でも3種類）のテストを行う必要があり，それに要する時間やコストは大きなものになります．
　そこで，テストに掛かる手間を削減するために，１種類の面積のチップから計算で仮想面積のチップの寿命を求め，そこから単位面積あたりの寿命を推定する手法を提案します．

　このように，面積が一種類の評価試料のデータをサンプリングし，仮想面積の寿命から任意の面積（単位面積）の寿命を推定する方法の有効性を示しました．

　使用時の注意点としては，１００倍の面積など大きすぎる仮想面積を定義した場合，今回提案する方法が有効に働かない可能性が出てきます．また，任意の面積（単位面積）を外そう線で求めるのではく，内そうで求めらるように評価サンプルの面積を設計することも重要です．

　この章では，ストレス条件の違いによる，ワイブル分布の変化(式4.1のβ，ηの変化)を調べます．

　薄膜の寿命(F)などは式4.1のワイブル(weibull)分布に従います．

ηは欠陥の発生確率に依存する値．βはワイブルプロットの近似直線の傾き（分布）に相当する値になります．　

　今回の実験では，ストレス（印可電圧）と，欠陥の発生頻度(∝1/η）を関係付けることができました．同様に，ストレスと寿命の分布（β）との関係も考察することができます．

　次のステップは，これらのデータを外そうすることで，実際の使用条件（ストレス条件）による膜の寿命を推定することになります．この時，β，あるいは，ηをある値に固定してフィッテングするのか，β，ηともに変数として取り扱うのか吟味する必要があります．膜破壊をユーザーの使用状態に合致するようにモデル化して，そのモデルに合うように定義することが必要です．

　TDDBに代表されるような，薄膜の破壊に至るモデルとして，パーコレーションモデル(Percolation model)が提唱^1)～4)されています．パーコレーションモデルとは，土壌に水が浸透していく現象等をモデル化する場合によく用いられるモデルです．コーヒーの"パーコレーター"をイメージしていただくとよくわかると思います．

　モデル化の一例として，「TDDBのストレス（電極両端に印可する電圧）は，パーコレーションモデルでの円の半径として考えることがでる．」と言えます．

　このシミュレーションによって得られた分布がワイブル分布として適当か否かの確認は，次章で紹介する方法で確認することができます．

　この章では，まず，測定データがワイブル分布として適合しているか検討します．次に，３章で提案した既存データからサンプリングにより面積を拡大して仮想面積の寿命を求める手法で得られたデータが，既存データと同じ分布（ワイブル分布）として扱えるのか検証してみます．

　まずサンプルデータを(sample2.csv)を読み込み，プロットして見ます．その結果を図6.1，図6.2に示します．サンプル１に比べて，グラフ上で分布が折れ曲がっていることが認められます．

　はたしてこのような，この分布に”曲がり”のあるデータは１つのワイブル分布として扱ってよいのか．この点に関して，検証してみることにします．

ワイブル分布としての適合度合いの検証方法は，第4章でもとめたワイブル分布と，この分布をn分割した区間（F分布で等分）のデータ数を比較することによって適合度合いを吟味します．このnはデータ総数Nから度数分布の階級数を決める目安(平たく言うと，ヒストグラムを描画する際に棒が幾つが適切を決める目安)である，スタージェスの公式(Sturges' rule)⁵⁾,式6.1を用います．

n=1+log₂(N) ≒ 1+3.32log₁₀(N) 　　(式6.1)
まず必要な関数群(kai2.txt)を読み込み，正しく関数が定義されたことを確認します．使用方法は，コマンドプロンプトから

>cal.kai2(data, nclass)

と入力します．引数nclassは前述した分割数nを指定します．通常は入力は不要で，スタージェスの公式から最適値が採用されます．
サンプルデータを用いて解析した事例を図6.3に示します．ここで，df値は自由度を表し，df=nclass-1となります．

図6.3 適合度合いの検証結果
sample2の解析結果をみると，全てのストレス条件において，p.value<0.05ですから，有意水準5%で仮説(ワイブル分布である)は棄却されることになります．つまり，sample2はワイブル分布ではないといえます．一方，sample1は，ワイブル分布だといえます．

　
次に本章後半の課題に入ります．３章で提案した既存データからサンプリングにより面積を拡大して仮想面積の寿命を求める手法で得られたデータが，既存データと同じ分布（ワイブル分布）として扱えるのか検証してみます．サンプル１(sample1)の2列目のデータから所望の面積になるようにサンプリング（図6.3）し，グラフ表示(図6.4)させます．

　コマンドプロンプトより，図6.4に示すバッチジョブ(text64)を走らせます．Sはsample1のデータそのままの面積に対応し，2Sは2個サンプリングして得られた仮想2倍の面積に対するデータです．以下，3S,5S,10S,20S,50S,100Sとサンプリング数を増やし，仮想面積を拡大します．
図6.4　バッチジョブ(text64) 　

図6.4　サンプリングしたデータのプロット
cal.kai2()関数を使ってサンプリングしたデータがワイブル分布であるのか検証します．
コマンドプロンプトより

> cal.kai2(l4.t)

と入力しすると，図6.5に示す結果が得られます．また，初期値として求められた，df=8の前後を調べるために，ncalssを変えて検証します．

図6.5 検証結果

　サンプリングする個数（仮想面積）を大きくすると，p.valueも小さくなりワイブル分布によるフィッテングが困難になることがわかりました．今回のように実測データの個数が１５０レコード程度の場合，サンプリング数としては，明確な境界は認められないのですが，サンプリング数(面積の拡大)の最大値は5～10までで使用することが望ましいと考えられます．　

　実測データの個数によりサンプリング可能数の最大値も増減することが予想されますので，実測データの個数とサンプリング可能個数を考慮し，任意の面積（単位面積）を求められるように評価サンプル（TEGチップ）の設計をする必要があります．

　前の章では，同じストレス試験の結果でもワイブル分布に従わないケースがあることがわかりました．そこでこの章では，ワイブル分布に従わない場合に複数のワイブル分布の合成として表すことを試みます．

　図5.1におけるパーコーレーションモデルでは，評価する薄膜内部に発生する欠陥の大きさ(d：半径)を一定として扱いました．しかし，一般的には，おなじストレスを印可しているにもかかわらず，図7.1に示すように薄膜エッジ部分（図中の黄色の領域）は薄膜中央部(図中の緑色の領域)に比べて欠陥の大きさが異なる(大きい)と考えることが妥当です．

　欠陥の大きさの異なる領域が混在する試験で，全体の寿命は，それぞれの領域が全体に占める割合で表せると考えられます．つまり，欠陥の大きさを，d1,dとすると，図7.2に示すように，これらの占める割合によって全体の寿命分布（オレンジ色線，水色線）が決まると予想されます．

　図7.7に示す影響度の異なる領域の割合を変えた場合，および，図7.9に示す２つの異なるワイブル分布の合成した場合，この２つのシミュレーションの結果から，1種類のワイブル分布で表せないような寿命分布（サンプル２）も，複数の（今回は２種類）ワイブル分布の合成として表せると考えられます．
　

　この章では，前の章の結果に基づき，図6.1に示した分布を，式8.1で示すように２種類のワイブル分布の合成として分離することを試みます．

　ここで，αは2つのワイブル分布の合成比を表しています．

　サンプル２の2カラム目（カラム名X11M)は，図7.1のエッジ部分（黄色の領域)が40%，領域中央部（緑色）が60%の割合で合成された寿命の分布であると推定することができました．

　今回のデータ解析およびシミュレーションで以下のことが明らかになりました．

　以下の関数，tddb.sampling(), tddb.sim3(), sample()　は関数内部で乱数を使用しています．そのため，実行結果は，この本（CDROM）で紹介した内容と異なります．

　関数作成ならびに技術的討論において多大なるアドバイスをいただきました，㈱数理システムの佐々木俊久様に対してお礼申し上げます．

ストレス条件	η	1/η	比率(１/η)	β
10.5	0.695	1.439	23.25	0.949
10.0	3.151	0.317	5.13	0.951
9.5	16.164	0.0618	1.00	1.103

ストレス条件	η	1/η	比率(１/η)	β
10.5	0.688	1.454	23.88	1
10.0	3.110	0.322	5.28	1
9.5	16.422	0.0609	1.00	1