3. 固定費の表現#
3.1. 説明#
3.1.1. 問題背景#
固定費 (fixed cost) とは総費用 \(TotalCost\) のうち， 生産量 \(x\) の変化に関わりなく生じる費用 \(C\) をいう． これを想定した数式表現を次に与える．
(3.7)#\[\begin{split}TotalCost :=
\begin{cases}
0 & (x=0), \\
A\cdot x + C & (x>0)
\end{cases}\end{split}\]
これは固定費に関する単純化したモデルであり，内容としては次を想定している．
ある製品を \(x\) 単位生産するものとする．
このとき，\(1\) 単位あたりの生産に要する費用係数は \(A\) である．
これに加えて，もしその製品が少しでも生産されるならば，
立ち上げの為の初期費用 \(C\) も固定費として発生する．
3.1.2. 定式化#
数理最適化の定式化で問題となるのは，\(x\) に応じた場合分けの線形な表現である． 場合分けの表現は，インジケータ変数 \(z\in\{0,1\}\) を導入した以下の式を考えればよい．
(3.8)#\[\begin{split}& \mathrm{Optimize:}~ TotalCost = A x + C z \\
& \mathrm{subject~to:}~ \\
& 0 \leq x \leq M\cdot z\end{split}\]
ここで \(M\) は \(x\) が取り得ることがない十分大きなパラメータであり，Big M のことである． 上記の書き換えによって，インジケータ変数 \(z\) の値に応じて確かに次のことが表現できている．
\(z = 0\) ならば，\(x\) の値は \(0\) に固定され，\(TotalCost=0\) である．
\(z = 1\) ならば，\(x\) は Big M のために 自由変数 となって \(0\) ではない値を取ることができて，\(TotalCost = A x + C\) である．
なおこの定式化技法は目的関数の最大化・最小化とは無関係のため， 目的関数でない単なる式表現の場合にも用いることができる．