3. ノルム最小化問題#

3.1. 導入#

最適化問題で代表的なノルムの定義を挙げる. 記述のために \(m\) 次元ベクトルを \(\vec{z}\) とする.

(1)#\[\begin{split}\vec{z} := \begin{bmatrix} z[1] \\ z[2] \\ \vdots \\ z[m] \end{bmatrix}\end{split}\]

\(\vec{z}\) に対してそれぞれノルムは次で与えられる.

  • \(1\)-ノルム

(2)#\[\|\vec{z}\|_1 := \sum_{i=1}^m |z[i]|\]
  • \(2\)-ノルム

(3)#\[\|\vec{z}\|_2 := \left(\sum_{i=1}^m z[i]^2 \right)^{\frac{1}{2}}\]
  • \(\infty\)-ノルム

(4)#\[\|\vec{z}\|_{\infty} := \max_{1\leq i\leq m} |z[i]|\]

ここで \(1\)-ノルム,\(\infty\)-ノルムの最小化は LP で定式化可能だが, 一方で \(2\)-ノルムに関しては LP で表現できない.

3.2. LP による定式化 (\(1\)-ノルム最小化問題)#

\(1\)-ノルムの最小化問題とは \(1\)-ノルムを最小化する最適化問題であり 絶対値最小化問題 でもある.

(5)#\[\mathrm{Minimize\colon}~ \sum_{i=1}^m |z[i]|\]

よってこれを LP として,表現する方法は 絶対値最小化問題 と同じであり, 以下のように定式化できる.

(6)#\[\begin{split}& \mathrm{Minimize\colon}~ \sum_{i=1}^m (v^+[i] + v^-[i]) \\ & \mathrm{subject~to\colon}~ \\ & v^+[i] - v^-[i] = z[i],~ \forall i\in\{1,\ldots,m\}, \\ & v^{\pm}[i] \geq 0,~ \forall i\in\{1,\ldots,m\}\end{split}\]

3.3. LPによる定式化 (\(\infty\)-ノルム最小化問題)#

\(\infty\)-ノルムの最小化問題とは \(\infty\)-ノルムを最小化する最適化問題であり 最大値最小化問題 でもある.

(7)#\[\mathrm{Minimize\colon}~ \|\vec{z}\|_{\infty} = \max_{1\leq i\leq m} |z[i]|\]

よってこれを LP として,表現する方法は \(\mathrm{max}\) 関数の対象が絶対値であることを除いて 最大値最小化問題 と同じであり, 以下のように定式化できる.

(8)#\[\begin{split}& \mathrm{Minimize\colon}~ q \\ & \mathrm{subject~to\colon}~ \\ & q \geq v^+[i] + v^-[i],~ \forall i\in \{1,\ldots,m\} \\ & v^{\pm}[i] \geq 0,~ \forall i\in \{1,\ldots,m\}\end{split}\]

ここで \(\mathrm{max}\) 関数の対象が絶対値であるから, 元の \(z[i]\) とは次で関係付いている.

(9)#\[v^+[i] - v^-[i] = z[i],~ \forall i\in \{1,\ldots,m\}\]

関連

引用書式

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